A quase totalidade das ilustrações dos livros de geometria são feitas em perspectiva cavaleira. É significativo que a perspectiva cavaleira seja a representação utilizada universalmente para apresentar os outros tipos de representação. De resto, trata-se de uma tradição antiga: as figuras dos tratados de
Geometria Descritiva e de
Perspectiva Linear, de Roubaudy e de Pillet, publicados em 1916 e em 1888, respectivamente, eram traçadas em perspectiva cavaleira.
A origem do nome cavaleira é duvidosa, afirmando uns que provém do nome dado a um tipo de construção alta — o
cavalier — que existia em certas fortificações militares do séc. XVI e de onde se tinha sobre a própria fortificação uma visão "do alto" -- que seria semelhante à dada pela perspectiva cavaleira. Outros dizem que o nome está relacionado com o ponto de vista alto de um cavaleiro, e ainda outros que deriva dos trabalhos do matemático italiano Cavalieri.
Nesta breve apresentação deste tipo de representação trataremos dos seguintes pontos:
Definição
A perspectiva cavaleira é uma
projecção cilíndrica oblíqua sobre um plano paralelo a uma das faces principais do objecto. A figura obtida por esta projecção não está conforme à visão, mas à inteligência que temos dos objectos representados, e daí a sua aceitação natural.
O desenho em perspectiva cavaleira é um auxiliar essencial na visualização e resolução de problemas de geometria no espaço, tendo em consequência uma grande importância no ensino da geometria, devendo ser aprendido e utilizado pelos alunos como meio principal de representação.
Na figura pode compreender-se como se forma a perspectiva cavaleira de um cubo, representado pelas suas vistas (frente e planta).
C" e
C', quadrados sombreados a cinzento, são a vista de frente e a planta do cubo.
O plano
, de projecção, paralelo a duas faces do cubo, está também representado pelas suas vista de frente e planta. As setas
d" e
d' são as vistas do vector
d que define a direcção da projecção oblíqua de que resulta a perspectiva cavaleira.
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Parâmetros
Na perspectiva cavaleira, o que varia é a direcção da projecção, pois a posição do cubo em relação ao plano de projecção está fixa, dado que o plano de projecção é paralelo a uma das faces do cubo, e adopta-se ainda a convenção de colocar sempre a representação de algumas arestas do cubo (
AB, etc.) paralelas ao bordo inferior do desenho. Daqui resulta que um segundo grupo de arestas (
AE, etc.) fica paralelo aos bordos laterais da folha de desenho e o terceiro grupo de arestas (
BC, etc.) é, no espaço, perpendicular ao plano de projecção. Os parâmetros que definem a perspectiva cavaleira são o ângulo
, entre a direcção das arestas do terceiro grupo e a direcção das arestas paralelas ao bordo inferior da folha de desenho, e a redução
k, em percentagem, que as arestas deste terceiro grupo, por exemplo
FG, têm na representação. Naturalmente, a redução e o ângulo dependem da direcção da projecção. Costuma utilizar-se a notação PC(
,
k%) para designar uma perspectiva cavaleira com os parâmetros
e
k.
Na figura seguinte apresentamos três tipos usuais de perspectiva cavaleira.
Da esquerda para a direita, temos respectivamente as perspectivas PC(45°, 50%), PC(30°, 70%) e PC(30°,50%). A escolha entre estas diferentes perspectivas cavaleiras é sobretudo uma questão de gosto, embora se possam ainda acrescentar outro tipo de considerações:
- O caso A tem a desvantagem de as representações das arestas FG e AD ficarem no prolongamento uma da outra, e por vezes isso tornar os desenhos confusos quando se colocam cubos ao lado uns dos outros.
- No caso B a profundidade da representação do cubo parece. pelo menos a muitos de nós, exagerada.
- O caso C parece a muitos o mais equilibrado. É o que adoptaremos nas figuras neste curso.
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Traçado em papel quadriculado
Seria bom que o papel quadriculado pudesse servir para desenhar em perspectiva cavaleira um destes casos mais usuais. Infelizmente, tal não é verdade, mas podem obter-se aproximações, como podemos verificar nas figuras seguintes:
No figura da esquerda, o ângulo é de 45°, mas a redução é de 70%, podendo ainda obter-se 35%. Na figura da direita, o ângulo é de 27°, aproximadamente, e a redução de 56%. Trata-se portanto de uma aproximação razoável do terceiro caso anterior.
(voltar à Introdução)
Propriedades
Na perspectiva cavaleira, verificam-se as seguintes propriedades:
- segmentos e figuras paralelos ao plano de projecção (plano do papel) são representados em verdadeira grandeza; figuras congruentes, situadas em planos diferentes mas paralelos ao plano do papel, têm representações congruentes - isto é contrário à visão, mas está conforme com a realidade dos objectos;
- segmentos perpendiculares ao plano do papel são representados por segmentos oblíquos (no caso adoptado, fazendo ângulos de 30° com o bordo inferior do papel), e têm o seu comprimento reduzido (no caso adoptado, a redução é de 50%);
- segmentos e rectas paralelos são representados por segmentos e rectas paralelos (trata-se de uma projecção cilíndrica);
- conservam-se os pontos médios dos segmentos e os baricentros das figuras;
- como convenção, traçam-se a cheio as linhas visíveis para o observador e a tracejado as linhas invisíveis.
